Inhalt

Einführung in die algebraische Zahlentheorie. Dabei geht es in erster Linie um ganzalgebraische Zahlen, das sind über den rationalen Zahlen algebraische Elemente, deren Minimalpolynom normiert ist und ganzzahlige Koeffizienten besitzt. Der Ganzheitsring (d.h. der Ring der ganzalgebraischen Elemente) eines algebraischen Zahlkörpers (das sind Körpererweiterungen von endlichem Grad über den rationalen Zahlen) spielt eine ähnliche Rolle wie die ganzen Zahlen als Teilmenge der rationalen Zahlen.

Nach einer allgemeinen Einführung werden unter anderem folgende klassische Resultate diskutiert:

• Dirichletscher Einheitensatz. Im Allgemeinen hat ein Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers viele Einheiten. Der Dirichletsche Einheitensatz beschreibt präzise die Struktur der Einheitengruppe.
• Dedekindsche Ringe und Idealzerlegung. Im Allgemeinen gilt in einem Ganzheitsring keine eindeutige Primfaktorzerlegung mehr. Allerdings kann man Ideale eindeutig in Primideale faktorisieren, und das lässt sich auch gewinnbringend ausnützen!
• Endlichkeit der Klassengruppe. Offensichtlich kann es sich bei einem Ganzheitsring im Allgemeinen nicht um einen Hauptidealbereich handeln. Die sogenannte Klassengruppe misst nun die Abweichung eines Ganzheitsrings von einem Hauptidealbereich. Ihre Kardinalität, die Klassenzahl, ist allerdings immer endlich.

Es werden sich im Laufe der Veranstaltung einige Verknüpfungspunkte mit der LV Algorithmische Zahlentheorie ergeben, die beiden Lehrveranstaltungen sind aber unabhängig voneinander besuchbar.

Vorkenntnisse

Algebra. Kenntnisse aus der klassischen Zahlentheorie, die im Rahmen einer Algebra-Vorlesung ohnehin behandelt werden, reichen als zahlentheoretische Grundlagen aus.

Termin

Vorlesung,Übung

Prüfungsmodus

Vorlesung: Mündliche Prüfung.Termine.

Punkteeinsicht

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Unterlagen

• Übungsbeispiele.
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